S1 =1 cm (първоначален размер)
S2 =S1 + 1/3 S1 =4/3 cm
S3 =S2 + 1/3 S2 =7/3 cm
S4 =S3 + 1/3 S3 =10/3 cm
...
Тук можем да наблюдаваме модел. Размерът на обвивката на всеки етап се получава чрез добавяне на 1/3 от размера на предишния етап.
Като цяло, размерът на черупката на N -ти етап може да бъде изразен като:
Sn =s1 + (1/3) s1 + (1/3)^2s1 + ... + (1/3)^(n-1) s1
За да определим броя на черупките, навесите на раците (с изключение на първоначалната обвивка), трябва да намерим стойността на n, за която Sn ≥ 10 cm.
10 cm ≤ sn
10 cm ≤ s1 + (1/3) s1 + (1/3)^2s1 + ... + (1/3)^(n-1) s1
10 cm ≤ s1 [1 + (1/3) + (1/3)^2 + ... + (1/3)^(n-1)]
Можем да разпознаем израза вътре в скобите като сума от геометрична серия с първия термин 1 и общото съотношение 1/3. Сумата от геометрична серия се дава от:
Sum =a1 / (1 - r), където A1 е първият термин и R е общото съотношение.
Включвайки се в A1 =1 и R =1/3, получаваме:
Сума =1/(1 - 1/3) =3/2
Следователно,
10 cm ≤ s1 [3/2]
S1 ≥ (10 cm) * (2/3)
S1 ≥ 6,67 cm
Това означава, че ракът ще хвърли черупката си, когато достигне размер от приблизително 6,67 см.
За да определим броя на навеса на черупките, трябва да намерим стойността на n, така че Sn ≥ 6,67 cm.
6.67 cm ≤ s1 + (1/3) s1 + (1/3)^2s1 + ... + (1/3)^(n-1) s1
6.67 cm ≤ s1 [1 + (1/3) + (1/3)^2 + ... + (1/3)^(n-1)]
Тъй като сумата от геометричната серия е 3/2, имаме:
6.67 cm ≤ s1 * (3/2)
S1 ≥ (6.67 cm) * (2/3)
S1 ≥ 4,45 cm
Това означава, че ракът ще хвърли черупката си, след като размерът му надвишава 4,45 cm.
Сега трябва да определим броя на етапите или молтите, които раците претърпяват, преди размерът му да надвиши 4,45 cm.
Започвайки със S1 =1 cm, можем да изчислим следващите етапи, както следва:
S2 =1 cm + (1/3) cm =4/3 cm
S3 =4/3 cm + (1/3) * 4/3 cm =7/3 cm
S4 =7/3 cm + (1/3) * 7/3 cm =10/3 cm
Можем да видим, че S4 е по -голям от 4,45 cm. Следователно раците ще хвърлят черупката си по време на прехода от третия етап (S3) към четвъртия етап (S4).
И така, ракът ще хвърли 3 черупки (с изключение на първоначалната обвивка) до момента, в който размерът му надвишава 10 cm.